等差數列是一個重要的數學問題，我們每個人在學習高中數學時都會接觸到等差數列這個問題，有些人也許會覺得等差數列是一個很簡單的問題，有些人卻也會被它難道，在這里，小編就為大家來簡單的介紹一下關于等差數列的問題。

一．等差數列的傳奇故事

   高斯是德國數學家、天文學家和物理學家，被譽為歷史上偉大的數學家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名。高斯7歲那年，父親送他進了耶卡捷林寧國民小學，讀書不久，高斯在數學上就顯露出了常人難以比較的天賦，最能證明這一點的是高斯十歲那年，教師彪特耐爾布置了一道很繁雜的計算題，要求學生把1到 100的所有整數加起來，教師剛敘述完題目，高斯即刻把寫著答案的小石板交了上去。彪特耐爾起初并不在意這一舉動，心想這個小家伙又在搗亂，但當他發現全班唯一正確的答案屬于高斯時，才大吃一驚。而更使人吃驚的是高斯的算法，他發現：第一個數加最后一個數是101，第二個數加倒數第二個數的和也是101，……共有50對這樣的數，用101乘以50得到5050。這種算法是教師未曾教過的計算等級數的方法，高斯的才華使彪特耐爾十分激動，下課后特地向校長匯報，并聲稱自己已經沒有什么可教高斯的了。相信現在學習等差數列的同學肯定都聽過高斯的故事，也都希望自己將來在這方面有所作為。

二．等差數列的性質

1.公差為d的等差數列，各項同加一數所得數列仍是等差數列，其公差仍為d．

2.公差為d的等差數列，各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列，其公差為kd．

3.若{an}{bn}為等差數列，則{ an ±bn }與{kan ＋bn}(k、b為非零常數)也是等差數列．

4.對任何m、n ，在等差數列中有：an = am + (n－m)d（m、n∈N+)，特別地，當m = 1時，便得等差數列的通項公式，此式較等差數列的通項公式更具有一般性．

5.一般地，當m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）時，am+an=ap+aq　.

6.公差為d的等差數列，從中取出等距離的項，構成一個新數列，此數列仍是等差數列，其公差為kd( k為取出項數之差)．

7.下表成等差數列且公差為m的項ak.ak+m.ak+2m.....(k,m∈N+）組成公差為md的等差數列。

8.在等差數列中，從第二項起，每一項(有窮數列末項除外)都是它前后兩項的等差中項．

9.當公差d＞0時，等差數列中的數隨項數的增大而增大；當d＜0時，等差數列中的數隨項數的減少而減小；d＝0時，等差數列中的數等于一個常數．

 

三．等差數列的公式

  如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。

1.等差數列的通項公式為： an=a1+(n-1)d (1)

2.前n項和公式為： Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)

  以上n均屬于正整數 從1式可以看出，an是n的一次數函(d≠0)或常數函數(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由2式知，Sn是n的二次函數(d≠0)或一次函數(d=0，a1≠0)，且常數項為0。

  在等差數列中，等差中項：一般設為Ar，Am+An=2Ar,所以Ar為Am，An的等差中項。 且任意兩項am，an的關系為： an=am+(n-m)d 它可以看作等差數列廣義的通項公式。

從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n} 若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有 am+an=ap+aq Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1 Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差數列，等等。 

  和＝（首項＋末項）×項數÷2 項數＝（末項-首項）÷公差＋1 首項=2和÷項數-末項 末項=2和÷項數-首項 末項=首項+（項數-1）×公差 等差數列的應用： 

   日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別 時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。 

  若為等差數列，且有an=m,am=n.則a(m+n)＝0。

 

   等差數列是一個神奇的數學問題，當你深入到其中的時候，就會被它獨特的數學魅力所傾倒，沉浸在其中無法自拔，這也許就是很多數學家之所以能取得巨大成就的原因之一，不知道你有沒有被等差數列這個深邃的問題所傾倒呢？