（一） 為什么要學習數學

相信高一的第一節課是各位科任老師各顯神通的時候，通過各種有趣的方式來突出每門課的重要性，作為數學老師我表達上不如文科老師迂回婉轉和風趣幽默，我們更喜歡用數字說明問題。大家知道北大最著名的院系是什么系嗎？早在蔡元培先生任北大校長時，就列數學系為北大第一系，這種傳統一直保持到現在。為什么數學系在高校中有如此重要的地位？課本主編寄語是這樣描述的：數學是有用的，數學有助于提高能力。

著名數學家華羅庚在《人民日報》精彩描述了數學在“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁”等方面無處不有重要貢獻。

問題1：大家知道海王星是怎么發現的，冥王星又是怎么被請出十大行星行列的？

海王星的發現是在數學計算過程中發現的，天文望遠鏡的觀測只是驗證了人們的推論。

1812年，法國人布瓦德在計算天王星的運動軌道時，發現理論計算值同觀測資料發生了一系列誤差。這使許多天文學家紛紛致力這個問題的研究，進而發現天王星的脫軌與一個未知的引力的存在相關。也就是說有一個未知的天體作用于天王星。 1846年9月23日。柏林天文臺收到來自法國巴黎的一封快信。發信人就是勒威耶。信中，勒威耶預告了一顆以往沒有發現的新星：在摩羯座8星東約5度的地方，有一顆8等小星，每天退行69角秒。當夜，柏林天文臺的加勒把巨大的天文望遠鏡對準摩羯座，果真在那里發現了一顆新的8等星。又過了—天，再次找到了這顆 8等星，它的位置比前一天后退了70角秒。這與勒威耶預告的相差甚微。全世界都震動了。人們依照勒威耶的建議，按天文學慣例，用神話里的名字把這顆星命名為“海王星”。

1930年美國天文學家湯博發現冥王星，當時錯估了冥王星的質量，以為冥王星比地球還大，所以命名為大行星。然而，經過近30年的進一步觀測和計算，發現它的直徑只有2300公里，比月球還要小，等到冥王星的大小被確認，“冥王星是大行星”早已被寫入教科書，以后也就將錯就錯了。經過多年的爭論，國際天文學聯合會通過投票表決做出最終決定，取消冥王星的行星資格。8月24日據國際天文學聯合會宣布，冥王星將被排除在行星行列之外，從而太陽系行星的數量將由九顆減為八顆。事實上，位居太陽系九大行星末席70多年的冥王星，自發現之日起地位就備受爭議。

馬克思說：“一種科學只有在成功運用數學時，才算達到了真正完善的地步。”正因為數學是日常生活和進一步學習必不可少的基礎和工具，一切科學到了最后都歸結為數學問題。

其實在我們的周圍有很多事情都是可以用數學可以來解決的，無非很多人都沒有用數學的眼光來看待。

問題2：基督教徒認為上帝是萬能的。你們認為呢？如何來證明你的結論呢？（讓同學發言）

我的觀點：上帝不是萬能的。為什么呢？仔細聽我講來。

證明：（反證法）假如上帝是萬能的

那么他能夠制作出一塊無論什么力量都搬不動的石頭

根據假設，既然上帝是萬能的，那么他一定能夠搬的動他自己制造的那石頭

這與“無論什么力量都搬不動的石頭”相矛盾

所以假設不成立

所以上帝不是萬能的。

問題3：抓鬮對個人來說公平嗎？5張票中有一張獎票，那么先抽還是后抽對個人還說公平嗎？

當然，我們學習的數學只是數學學科體系中很基礎，很小的一部分。現在課本上學的未必能直接應用于生活，主要是為以后學習更高層次的理科打好基礎，同時，也為了掌握一些數學的思考方法以及分析問題解決問題的思維方式。哲學家培根說過：“讀詩使人靈秀，讀歷史使人明智，學邏輯使人周密，學哲學使人善辯，學數學使人聰明…”，也有人形象地稱數學是思維的體操。下面我們通過具體的例子來體驗一下某些數學思想方法和思維方式。

故事一：據說國際象棋是古印度的一位宰相發明的。國王很欣賞他的這項發明，問他的宰相要什么賞賜。聰明的宰相說，“我所要的從一粒谷子（沒錯，是１粒，不是１兩或１斤）開始。在這個有64格的棋盤上，第一格里放１粒谷子，第二格里放２粒，第三格里放４粒，即每下一格粒數加倍，……如此下去，一直放滿到棋盤上的64格。這就是我所要的賞賜。” 國王覺得宰相要的實在不多，就叫人按宰相的要求賞賜。但后來發現即使把全國所有的谷子抬來也遠遠不夠。

人們通常憑借自己掌握的數學知識耍些小聰明，使問題妙不可言。

數學游戲：兩人相繼輪流往長方形桌子上放同樣大小的硬幣，硬幣一定要平放在桌面上，后放的硬幣不能壓在先放的硬幣上，放最后一顆的硬幣的人算贏。應該先放還是后放才有必勝的把握。

數學思想：退到最簡單、最特殊的地方。

故事二：聰明的渡邊：20世紀40年代末，手寫工具突破性進展—圓珠筆問世，它以價廉、方便、書寫流利在社會上廣泛流傳，但寫到20萬字時就會因圓珠磨小而漏油，影響了銷售。工程師們從圓珠質量入手，從改進油墨性能入手進行改良，但收效甚微。于是廠家打出廣告：解決此問題獲獎金50萬元。當時山地制筆廠的青年工人渡邊看到女兒把圓珠筆用到快漏油時就德育不用這一現象中受到啟發，很好地解決了這一問題，你認為他會怎么做呢？

渡邊的成功之處就在于思維角度新，從問題的側面輕巧取勝。也正體現了數學學習中經常用到的發散式思維。在數學學習中，既要有集中式思維又要有發散式思維。集中式思維是一種常用思維渠道，即為對問題的歸納，聯系思維方式，表現為對解題方法的模仿和繼承；而發散式思維即對問題開拓、創新，表現為對問題舉一反三，觸類旁通。在解決具體問題中，我們應該將兩種思維方式相結合。

學數學有利于培養人的思維品質：結構意識、整體意識、抽象意識、化歸意識、優化意識、反思意識，盡管數學在培養學生的這些思維品質方面和其他學科存在著交集，但數學在其中的地位是無法被代替的。總之，學習數學可以使人思考問題更合乎邏輯，更有條理，更嚴密精確，更深入簡潔，更善于創造……

（二）如何學好數學

高中數學的內容多，抽象性、理論性強，高中很注重自學能力的培養的，高中不會像初中那樣老師一天到晚盯著你，在高中一定要注重自學能力的培養，誰的自學能力強，那么在一定的程度上影響著你的成績以及你將來你發展的前途。同時要注意以下幾點：

第一：對數學學科特點有清楚的認識

主編寄語里是這樣描述數學的特征的：數學是自然的。數學的概念、方法、思想都是人類長期實踐中自然發展形成的，以數域的發展為例，從自然數到有理數到實數再到復數，都是由自然的認知沖突引起的。因此，在學習過程中我們有必要了解知識產生的背景，它的形成過程以及它的應用，讓數學顯得合情合理，渾然天成。數學中沒有含糊不清的詞，對錯分明，凡事都要講個為什么，只要按照數學規則去學去想就能融會貫通，但是如果不把來龍去脈想清楚而是“想當然”的話，那就學不下去了。

第二：要改變一個觀念。

有人會說自己的基礎不好。那我問下什么是基礎？今天所學的知識就是明天的基礎。明天學習的知識就是后天的基礎。所以要學好每一天的內容，那么你打的基礎就是最扎實的了。所以現在你們是在同一個起跑線上的，無所謂基礎好不好。過去的幾年里我分別帶過五十一中和一中的學生，兩邊學生的課堂感覺差不多，應該說接受能力不相上下，有的時候我會選擇在五十一中開公開課，因為課堂氣氛活躍、輕松，但是成績差異卻是很大，原因在于我們同學外課自主時間的投入太少，學習習慣不太好。

第三：學數學要摸索自己的學習方法

學習、掌握并能靈活應用數學的途徑有千萬條，每個人都可以有與眾不同的數學學習方法。做習題、用數學解決各種問題是必需的，理解、學會證明、領會思想、掌握方法也是必需的。此外，還要發揮問題的作用，學會提問，熱心幫助別人解決問題，用自己的問題和別人的問題帶動自己的學習。同時，注意前后知識的銜接，類比地學、聯系地學，既要從概念中看到它的具體背景，又要在具體的例子中想到它蘊含的一般概念。

第四：養成良好的學習習慣（與一中學生相比較）

㈠課前預習。怎樣預習呢？就是自己在上課之前把內容先看一邊，把自己不懂的地方做個記號或者打個問號，以至于上課的時候重點聽，這樣才能夠很快提高自己的水平。但是預習不是很隨便的把課本看一邊，預習有個目標，那就是通過預習可以把書本后面的練習題可以自己獨立的完成。一中的同學預習就已經有好幾個層次了，先是課本，再是精編，再是高考題典，上課對于他們來說是第一輪高考復習。

㈡上課認真聽講。上課的時候準備課本，一只筆，一本草稿。做不做筆記你們自己決定，不過我不大提倡數學課做筆記的。不過有一點，有些知識點比較重要，課本上又沒有的，我要求你們把它寫在課本上的相應的空白地方。還有如果你覺得某個例題比較新或者比較重要，也可以把它記在書本的相應位置上，這樣以后復習起來就一目了然了。那么草稿要來干什么的呢？課堂上你可以自己演算還有做課堂練習。

㈢關于作業。絕對不允許有抄作業的情況發生。如果我發現有誰抄作業，那么既然他這樣喜歡抄，我就要你把當天的作業多抄幾遍給我。那有人會問，碰到不會做的題目怎么辦？有兩個辦法：一、向同學請教，請教做題目的思路，而不是整個過程和答案。同學之間也要相互幫助，如果你讓他抄襲你的作業這樣不是幫助他而是害他，這個道理大家應該明白吧。我非常提倡同學之間的相互討論問題的，這樣才能夠相互促進提高。二、向老師請教，要養成多想多問的習慣。我的辦公室在二樓二號，歡迎大家前來交流

㈣準備一本筆記本，作為自己的問題集。把平時自己不懂的和不大理解的還有易錯的記錄下來，并且要及時的消化，不懂的地方問老師。這是一個很好的辦法，到考試的時候就可以有重點、有針對性的自己復習了。我高中的時候就是采用這樣的方法把數學成績提高。