一、音樂(lè)與數(shù)學(xué)

　　動(dòng)人的音樂(lè)常給人以美妙的感受。古人云：余音繞梁，三日不絕，這說(shuō)的是唱得好，也有的人五音不全，唱不成調(diào)，這就是唱得不好了。同樣是唱歌，甚至是唱同樣的歌，給人的感覺(jué)卻是迥然不同。其重要原因在于歌唱者發(fā)聲振動(dòng)頻率不同。

　　人類很早就在實(shí)踐中對(duì)聲音是否和諧有了感受，但對(duì)諧和音的比較深入的了解只是在弦樂(lè)器出現(xiàn)以后，這是因?yàn)橄艺駝?dòng)頻率和弦的長(zhǎng)度存在著簡(jiǎn)單的比例關(guān)系。近代數(shù)學(xué)已經(jīng)得出弦振動(dòng)的頻率公式是 W = ，這里，P是弦的材料的線密度；T是弦的張力，也就是張緊程度；L是弦長(zhǎng)；W是頻率，通常以每秒一次即赫茲為單位。

　　那么，決定音樂(lè)和諧的因素又是什么呢？人類經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的研究，發(fā)現(xiàn)它決定于兩音的頻率之比。兩音頻率之比越簡(jiǎn)單，兩音的感覺(jué)效果越純凈、愉快與和諧。

　　首先，最簡(jiǎn)單之比是２：１。例如，一個(gè)音的頻率是160、7赫茲，那么，與它相鄰的協(xié)和音的頻率應(yīng)該是2×260、7赫茲，這就是高八度音。而與頻率為2×260、7赫茲的音和諧的次一個(gè)音是4×260、7赫茲。這樣推導(dǎo)下去，我們可以得到下面一列和諧的音樂(lè)：

　　260、7，2×260、7，22×260、7……

我們把它簡(jiǎn)記為C0，C1，C2，……，稱為音名。

由于我們討論的是音的比較，可暫時(shí)不管音的絕對(duì)高度（頻率），因此又可將音樂(lè)簡(jiǎn)寫(xiě)為：

C0C1C2C3……

20212223……

需要說(shuō)明的是，在上面的音列中，不僅相鄰的音是和諧的，而且C與C2，C與C3等等也都是和諧的。一般說(shuō)來(lái)這些協(xié)和音頻率之比是2M。（其中M是自然數(shù)）

二、等號(hào)與不等號(hào)的發(fā)明權(quán)屬于英國(guó)人。

　　１５５７年，數(shù)學(xué)家雷科德在他的《智慧的激勵(lì)》一書(shū)中，首先把“＝”作為等號(hào)，他說(shuō)：“最相像的兩件東西是兩條平行線，所以這兩條線應(yīng)該用來(lái)表示相等。”他的書(shū)《智慧的激勵(lì)》也因此引起了人們極大的興趣。

　　在數(shù)學(xué)中，等號(hào)“＝”既可表示兩個(gè)數(shù)相等，也可以表示兩個(gè)式子相等，但無(wú)論何種相等，它們都遵循以下規(guī)則：

　　（１）若a=b，那么對(duì)于任何數(shù)c，有a±c=b±c；

　　（２）若a=b，那么b=a；

　　（３）若a=b，b=c，那么a=c；

　　（４）若a=b，那么對(duì)于任何數(shù)c，有ac=bc。

　　人們起初用“    ”和“    ”。表示大于和小于，英國(guó)人烏特勒首次在他的《數(shù)學(xué)入門》一書(shū)中使用了它們。另一英國(guó)數(shù)學(xué)家哈里奧特引入了現(xiàn)在的兩個(gè)符號(hào)：＞、＜。他在自己的書(shū)中明確地寫(xiě)道：“a＞b表示a量大于b量，a＜b表示a量小于b量。”

　　不等號(hào)在數(shù)學(xué)中有著普遍應(yīng)用，在使用它們時(shí)，應(yīng)遵循如下原則（a、b為實(shí)數(shù)）

　　（１）若a＞b，則b＜a

　　（２）若a＞b，那么對(duì)于任何實(shí)數(shù)c，有a±c＞b±c；

　　（３）若a＞b，c為大于零的實(shí)數(shù)，那么ac＞bc；

　　（４）若a＞b，c為小于零的實(shí)數(shù)，那么ac＜bc；

      （５）若a＞b，b＞c，那么a＞c。 

 

 

 

三、加減乘除的來(lái)歷

　　加減乘除（＋、－、×(?)、÷(∶））等數(shù)學(xué)符號(hào)是我們每一個(gè)人最熟悉的符號(hào)，因?yàn)椴还庠跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中離不開(kāi)它們，幾乎每天的日常的生活也離不開(kāi)它們。別看它們這么簡(jiǎn)單，直到１７世紀(jì)中葉才全部形成。

　　法國(guó)數(shù)學(xué)家許凱在１４８４年寫(xiě)成的《算術(shù)三篇》中，使用了一些編寫(xiě)符號(hào)，如用D表示加法，用M表示減法。這兩個(gè)符號(hào)最早出現(xiàn)在德國(guó)數(shù)學(xué)家維德曼寫(xiě)的《商業(yè)速算法》中，他用“＋”表示超過(guò),用“─”表示不足。到１５１４年，荷蘭的赫克首次用“＋”表示加法，用“─”表示減法。１５４４年，德國(guó)數(shù)學(xué)家施蒂費(fèi)爾在《整數(shù)算術(shù)》中正式用“＋”和“─”表示加減，這兩個(gè)符號(hào)逐漸被公認(rèn)為真正的算術(shù)符號(hào)，廣泛采用。

　　以符號(hào)“×”代表乘是英國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W特雷德首創(chuàng)的。他于１６３１年出版的《數(shù)學(xué)之鑰》中引入這種記法。據(jù)說(shuō)是由加法符號(hào)＋變動(dòng)而來(lái)，因?yàn)槌朔ㄟ\(yùn)算是從相同數(shù)的連加運(yùn)算發(fā)展而來(lái)的。后來(lái)，萊布尼茲認(rèn)為“×”容易與“X”相混淆，建議用“?”表示乘號(hào)，這樣，“?”也得到了承認(rèn)。

   除法符號(hào)“÷”是英國(guó)的瓦里斯最初使用的，后來(lái)在英國(guó)得到了推廣。除的本意是分，符號(hào)“÷”的中間的橫線把上、下兩部分分開(kāi)，形象地表示了“分”。至此，四則運(yùn)算符號(hào)齊備了，當(dāng)時(shí)還遠(yuǎn)未達(dá)到被各國(guó)普遍采用的程度。

      希爾伯特曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)的有機(jī)統(tǒng)一，是這門科學(xué)固有的特點(diǎn)，因?yàn)樗且磺芯_自然科學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)……”，由此可見(jiàn)數(shù)學(xué)是多么的重要，我們必須要學(xué)好數(shù)學(xué)，并了解一些數(shù)學(xué)小知識(shí)。數(shù)學(xué)小知識(shí)其實(shí)都是非常有趣的，很多都是以故事的形式向大家表達(dá)出數(shù)學(xué)的魅力。