一、概述

三角函數是數學中常見的一類關于角度的函數。也就是說以角度為自變量，角度對應任意兩邊的比值為因變量的函數叫三角函數，三角函數將直角三角形的內角和它的兩個邊長度的比值相關聯，也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。三角函數在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時有重要作用，也是研究周期性現象的基礎數學工具。在數學分析中，三角函數也被定義為無窮級限或特定微分方程的解，允許它們的取值擴展到任意實數值，甚至是復數值。

常見的三角函數包括正弦函數、余弦函數和正切函數。在航海學、測繪學、工程學等其他學科中，還會用到如余切函數、正割函數、余割函數、正矢函數、余矢函數、半正矢函數、半余矢函數等其他的三角函數。不同的三角函數之間的關系可以通過幾何直觀或者計算得出，稱為三角恒等式。

三角函數一般用于計算三角形中未知長度的邊和未知的角度，在導航、工程學以及物理學方面都有廣泛的用途。另外，以三角函數為模版，可以定義一類相似的函數，叫做雙曲函數。常見的雙曲函數也被稱為雙曲正弦函數、雙曲余弦函數等等。三角函數（也叫做圓函數）是角的函數；它們在研究三角形和建模周期現象和許多其他應用中是很重要的。三角函數通常定義為包含這個角的直角三角形的兩個邊的比率，也可以等價的定義為單位圓上的各種線段的長度。更現代的定義把它們表達為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們擴展到任意正數和負數值，甚至是復數值。

 

二、相關定理

三角函數，正如其名稱那樣，在三角學中是十分重要的，主要是因為正弦定理與余弦定理。

同時在解決物理中的力學問題時也很重要，主要在于力與力之間的轉換，并列出平衡方程。

正弦定理

對于邊長為a,b和c而相應角為A,B和C的三角形，有：

sinA / a = sinB / b = sinC/c

也可表示為：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

變形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

其中R是三角形的外接圓半徑。

它可以通過把三角形分為兩個直角三角形并使用上述正弦的定義來證明。在這個定理中出現的公共數 (sinA)/a是通過A,B和C三點的圓的直徑的倒數。正弦定理用于在一個三角形中（1）已知兩個角和一個邊求未知邊和角（2）已知兩邊及其一邊的對角求其他角和邊的問題。這是三角測量中常見情況。

余弦定理

對于邊長為a、b、c而相應角為A、B、C的三角形，有：

a² = b² + c²- 2bc·cosA

b² = a² + c² - 2ac·cosB

c² = a² + b² - 2ab·cosC

也可表示為：

cosC=（a² +b² －c²）/ 2ab

cosB=（a² +c² -b²）/ 2ac

cosA=（c² +b² -a²）/ 2bc

這個定理也可以通過把三角形分為兩個直角三角形來證明。余弦定理用于在一個三角形的兩個邊和一個角已知時確定未知的數據。

如果這個角不是兩條邊的夾角，那么三角形可能不是唯一的（邊-邊-角）。要小心余弦定理的這種歧義情況。

物理力學方面的平行四邊形定則中也會用到相關知識。

延伸定理：第一余弦定理（任意三角形射影定理）

設△ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有

a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A

正切定理

對于邊長為a,b和c而相應角為A,B和C的三角形，有：

(a+b)/(a-b) = tan[(A+B)/2]/tan[(A-B)/2]

廣義射影定理

三角形中任意一邊等于其他兩邊以及對應角余弦的交叉乘積的和，即a=c cosB + b cosC

三角恒等式

對于任意非直角三角形中,如三角形ABC,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

證明：

已知(A+B)=(π-C)

所以tan(A+B)=tan(π-C)

則(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

類似地，我們同樣也可以求證:當α+β+γ=nπ(n∈Z)時，總有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ。

 

三、記憶口訣

三角函數是函數，象限符號坐標注。函數圖象單位圓，周期奇偶增減現。

同角關系很重要，化簡證明都需要。正六邊形頂點處，從上到下弦切割;

中心記上數字1，連結頂點三角形;向下三角平方和，倒數關系是對角，

頂點任意一函數，等于后面兩根除。誘導公式就是好，負化正后大化小，

變成銳角好查表，化簡證明少不了。二的一半整數倍，奇數化余偶不變，

將其后者視銳角，符號原來函數判。兩角和的余弦值，化為單角好求值，

余弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名，互余角度變名稱。

計算證明角先行，注意結構函數名，保持基本量不變，繁難向著簡易變。

逆反原則作指導，升冪降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路明。

萬能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運用加巧用;

1加余弦想余弦，1減余弦想正弦，冪升一次角減半，升冪降次它為范;

三角函數反函數，實質就是求角度，先求三角函數值，再判角取值范圍;

利用直角三角形，形象直觀好換名，簡單三角的方程，化為最簡求解集。

 

上面就是初中三角函數的相關知識了，不知道大家掌握沒有。文中介紹了三角函數的概念，還介紹了三角函數相關的各種定理以及一些方便記憶的口訣，希望這篇文章可以讓大家對三角函數有更深的理解，也希望大家講三角函數知識完全的掌握。