一、基本簡介

    一般地，我們把形如y=ax²+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項。x為自變量，y為因變量。等號右邊自變量的最高次數(shù)是2。

主要特點

“變量”不同于“未知數(shù)”，不能說“二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)”。“未知數(shù)”只是一個數(shù)（具體值未知，但是只取一個值），“變量”可在一定范圍內(nèi)任意取值。    在方程中適用“未知數(shù)”的概念（函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表示一個數(shù)或函數(shù)——也會遇到特殊情況），但是函數(shù)中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。從函數(shù)的定義也可看出二者的差別.如同函數(shù)不等于函數(shù)關(guān)系。

二次函數(shù)圖像與X軸交點的情況 

當△=b²-4ac>0時，函數(shù)圖像與x軸有兩個交點。

當△=b²-4ac=0時，函數(shù)圖像與x軸只有一個交點。

當△=b²-4ac<0時，函數(shù)圖像與x軸沒有交點。

二、二次函數(shù)圖像 

在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。 如果所畫圖形準確無誤，那么二次函數(shù)圖像將是由一般式平移得到的。

軸對稱

二次函數(shù)圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a

對稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點為二次函數(shù)圖像的頂點P。

特別地，當b=0時，二次函數(shù)圖像的對稱軸是y軸（即直線x=0）。

a,b同號，對稱軸在y軸左側(cè).

a,b異號，對稱軸在y軸右側(cè).

頂點

二次函數(shù)圖像有一個頂點P，坐標為P ( h,k )即(-b/2a, (4ac-b²/4a).

當h=0時，P在y軸上；當k=0時，P在x軸上。即可表示為頂點式y(tǒng)=a(x-h)²+k。

h=-b/2a， k=(4ac-b²)/4a。

開口方向和大小 

二次項系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的開口方向和大小。

當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則二次函數(shù)圖像的開口越小。

決定對稱軸位置的因素 折疊

一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

當a>0,與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左； 因為對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同號

當a>0,與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要異號

可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0 ），對稱軸在y軸右。

事實上，b有其自身的幾何意義：二次函數(shù)圖像與y軸的交點處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值?？赏ㄟ^對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

決定與y軸交點的因素 

常數(shù)項c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點。

二次函數(shù)圖像與y軸交于（0,C）

注意：頂點坐標為（h,k)， 與y軸交于（0,C)。

與x軸交點個數(shù) 

a<0;k>0或a>0;k<0時，二次函數(shù)圖像與x軸有2個交點。

k=0時，二次函數(shù)圖像與x軸只有1個交點。

a<0;k<0或a>0,k>0時，二次函數(shù)圖像與X軸無交點。

當a>0時，函數(shù)在x=h處取得最小值ymin=k，在x<h范圍內(nèi)是減函數(shù)，在x>h范圍內(nèi)是增函數(shù)（即y隨x的變大而變?。?，二次函數(shù)圖像的開口向上，函數(shù)的值域是y>k

當a<0時，函數(shù)在x=h處取得最大值ymax=k，在x<h范圍內(nèi)是增函數(shù)，在x>h范圍內(nèi)是減函數(shù)（即y隨x的變大而變大），二次函數(shù)圖像的開口向下，函數(shù)的值域是y<k

當h=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數(shù)是偶函數(shù)

三、二次函數(shù)公式匯總：交點式、兩根式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

　?。?）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0），則稱y為x的二次函數(shù)。頂點坐標（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）

　　（2）頂點式：y=a（x-h）2+k或y=a（x+m）^2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0）。

　?。?）交點式（與x軸）：y=a（x-x1）（x-x2）

　　（4）兩根式：y=a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根，a≠0.

　　說明：

　?。?）任何一個二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+k，拋物線的頂點坐標是（h，k），h=0時，拋物線y=ax2+k的頂點在y軸上；當k=0時，拋物線a（x-h）2的頂點在x軸上；當h=0且k=0時，拋物線y=ax2的頂點在原點。

　?。?）當拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點時，即對應(yīng)二次方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根x1和x2存在時，根據(jù)二次三項式的分解公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），二次函數(shù)y=ax2+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2）。

 

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)并不難，重要的是找到學(xué)習(xí)的興趣，興趣是學(xué)習(xí)最好的老師，是走向成功的階梯。