一、函 數(shù)

1．指數(shù)式、對數(shù)式，

2．（1）映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一個集合 中的元素必有像，但第二個集合 中的元素不一定有原像（ 中元素的像有且僅有下一個，但 中元素的原像可能沒有，也可任意個）；函數(shù)是“非空數(shù)集上的映射”，其中“值域是映射中像集 的子集”．

（2）函數(shù)圖像與 軸垂線至多一個公共點，但與 軸垂線的公共點可能沒有，也可任意個．

（3）函數(shù)圖像一定是坐標系中的曲線，但坐標系中的曲線不一定能成為函數(shù)圖像．

3．單調(diào)性和奇偶性

（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同．

偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反．

（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點是：“同性得增，增必同性；異性得減，減必異性”．

復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”．復(fù)合函數(shù)要考慮定義域的變化。（即復(fù)合有意義）

4．對稱性與周期性（以下結(jié)論要消化吸收，不可強記）

（1）函數(shù) 與函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 （ 軸）對稱．

（2）函數(shù) 與函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 （ 軸）對稱．

（3）函數(shù) 與函數(shù) 的圖像關(guān)于坐標原點中心對稱．

 

二、數(shù)  列

1．數(shù)列的通項、數(shù)列項的項數(shù)，遞推公式與遞推數(shù)列，數(shù)列的通項與數(shù)列的前 項和公式的關(guān)系

2．等差數(shù)列 中：

（1）等差數(shù)列公差的取值與等差數(shù)列的單調(diào)性．

（2）兩等差數(shù)列對應(yīng)項和（差）組成的新數(shù)列仍成等差數(shù)列．

（3）“首正”的遞等差數(shù)列中，前 項和的最大值是所有非負項之和；

“首負”的遞增等差數(shù)列中，前 項和的最小值是所有非正項之和；

（4）有限等差數(shù)列中，奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定．若總項數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項和”－“奇數(shù)項和”＝總項數(shù)的一半與其公差的積；若總項數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項和”－“偶數(shù)項和”＝此數(shù)列的中項．

（5）兩數(shù)的等差中項惟一存在．在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時，常考慮選用“中項關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解．

（6）判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有：定義法、中項法、通項法、和式法、圖像法（也就是說數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件主要有這五種形式）．

3．等比數(shù)列 中：

（1）等比數(shù)列的符號特征（全正或全負或一正一負），等比數(shù)列的首項、公比與等比數(shù)列的單調(diào)性．

（2）兩等比數(shù)列對應(yīng)項積（商）組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)列．

（3）“首大于1”的正值遞減等比數(shù)列中，前 項積的最大值是所有大于或等于1的項的積；“首小于1”的正值遞增等比數(shù)列中，前 項積的最小值是所有小于或等于1的項的積；

（4）有限等比數(shù)列中，奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定．若總項數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項和”＝“奇數(shù)項和”與“公比”的積；若總項數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項和”＝“首項”加上“公比”與“偶數(shù)項和”積的和．

（5）并非任何兩數(shù)總有等比中項．僅當實數(shù) 同號時，實數(shù) 存在等比中項．對同號兩實數(shù) 的等比中項不僅存在，而且有一對 ．也就是說，兩實數(shù)要么沒有等比中項（非同號時），如果有，必有一對（同號時）．在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時，常優(yōu)先考慮選用“中項關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解．

（6）判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有：定義法、中項法、通項法、和式法（也就是說數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件主要有這四種形式）．

4．等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系

（1）如果數(shù)列 成等差數(shù)列，那么數(shù)列 （ 總有意義）必成等比數(shù)列．

（2）如果數(shù)列 成等比數(shù)列，那么數(shù)列 必成等差數(shù)列．

（3）如果數(shù)列 既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列 是非零常數(shù)數(shù)列；但數(shù)列 是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件．

（4）如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由他們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)．

如果一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列有公共項順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般的方法”進行研討，且以其等比數(shù)列的項為主，探求等比數(shù)列中那些項是他們的公共項，并構(gòu)成新的數(shù)列．

注意：（1）公共項僅是公共的項，其項數(shù)不一定相同，即研究 ．但也有少數(shù)問題中研究 ，這時既要求項相同，也要求項數(shù)相同．（2）三（四）個數(shù)成等差（比）的中項轉(zhuǎn)化和通項轉(zhuǎn)化法．

5．數(shù)列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式（三種形式），

②等比數(shù)列求和公式（三種形式），

（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和．

（3）倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前 和公式的推導(dǎo)方法）．

（4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個新的的等比數(shù)列的和”求解（注意：一般錯位相減后，其中“新等比數(shù)列的項數(shù)是原數(shù)列的項數(shù)減一的差”！）（這也是等比數(shù)列前 和公式的推導(dǎo)方法之一）．

（5）裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和．常用裂項形式有：

特別聲明：L運用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時分類討論．

（6）通項轉(zhuǎn)換法。

 

三、三角函數(shù)

1． 終邊與 終邊相同（ 的終邊在 終邊所在射線上）  ．

終邊與 終邊共線（ 的終邊在 終邊所在直線上） ．

終邊與 終邊關(guān)于 軸對稱  ．

終邊與 終邊關(guān)于 軸對稱  ．

終邊與 終邊關(guān)于原點對稱  ．

一般地： 終邊與 終邊關(guān)于角 的終邊對稱  ．

與 的終邊關(guān)系由“兩等分各象限、一二三四”確定．

2．弧長公式 ，扇形面積公式 ，1弧度（1rad） ．

3．三角函數(shù)符號特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正．

4．三角函數(shù)線的特征是：正弦線“站在 軸上（起點在 軸上）”、余弦線“躺在 軸上（起點是原點）”、正切線“站在點 處（起點是 ）”．務(wù)必重視“三角函數(shù)值的大小與單位圓上相應(yīng)點的坐標之間的關(guān)系，‘正弦’ ‘縱坐標’、‘余弦’ ‘橫坐標’、‘正切’ ‘縱坐標除以橫坐標之商’”；

 5．三角函數(shù)同角關(guān)系中，平方關(guān)系的運用中，務(wù)必重視“根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，精確確定角的范圍，并進行定號”；

6．三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的本質(zhì)是：奇變偶不變，符號看象限．

7．三角函數(shù)變換主要是：角、函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)（常值）的變換，其核心是“角的變換”! 

角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換．

三角式變換主要有：三角函數(shù)名互化（切割化弦）、三角函數(shù)次數(shù)的降升（降次、升次）、運算結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化（和式與積式的互化）．解題時本著“三看”的基本原則來進行:“看角、看函數(shù)、看特征”,基本的技巧有:巧變角,公式變形使用,化切割為弦,用倍角公式將高次降次．

輔助角公式中輔助角的確定： （其中 角所在的象限由a, b的符號確定， 角的值由 確定）在求最值、化簡時起著重要作用．尤其是兩者系數(shù)絕對值之比為 的情形． 有實數(shù)解 ．

8．三角函數(shù)性質(zhì)、圖像及其變換：

（1）三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性

注意：正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域；絕對值對三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變；其他不定．

（2）三角函數(shù)圖像及其幾何性質(zhì)：

（3）三角函數(shù)圖像的變換：兩軸方向的平移、伸縮及其向量的平移變換．

（4）三角函數(shù)圖像的作法：三角函數(shù)線法、五點法（五點橫坐標成等差數(shù)列）和變換法．

高中數(shù)學(xué)重要的知識點就是這些，其實并不算多，只要大家真正理解了，各種數(shù)學(xué)題型大家都可以駕馭，一些大家認為的難題也是只要真正理解了知識點，并且學(xué)會思考，很容易就會解開，相信大家的數(shù)學(xué)會越學(xué)越好的。