一、 概念和公式

   方差的概念與計算公式，例1 兩人的5次測驗成績如下：X： 50，100，100，60，50 E(X)=72；Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y)=72。平均成績相同，但X 不穩定，對平均值的偏離大。方差描述隨機變量對于數學期望的偏離程度。單個偏離是消除符號影響方差即偏離平方的均值，記為D(X)：直接計算公式分離散型和連續型，具體為：這里 是一個數。推導另一種計算公式得到：“方差等于平方的均值減去均值的平方”。其中，分別為離散型和連續型計算公式。 稱為標準差或均方差，方差描述波動程度。

基本定義：設X是一個隨機變量，若E{[X-E(X)]2}存在，則稱E{[X-E(X)]2}為X的方差，記為D(X),Var(X)或DX。即D(X)=E{[X-E(X)]2}稱為方差，而σ(X)=D(X)0.5（與X有相同的量綱）稱為標準差（或均方差）。即用來衡量一組數據的離散程度的統計量。方差刻畫了隨機變量的取值對于其數學期望的離散程度。（標準差、方差越大，離散程度越大。否則，反之)若X的取值比較集中，則方差D(X)較小,若X的取值比較分散，則方差D(X)較大。因此，D（X）是刻畫X取值分散程度的一個量，它是衡量取值分散程度的一個尺度。

當數據分布比較分散（即數據在平均數附近波動較大）時，各個數據與平均數的差的平方和較大，方差就較大；當數據分布比較集中時，各個數據與平均數的差的平方和較小。因此方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動就越小

二、 計算方法和原理

若x1,x2,x3......xn的平均數為m則方差方差公式方差公式例1 兩人的5次測驗成績如下：

X： 50，100，100，60，50 E(X )=72；

Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。

平均成績相同，但X 不穩定，對平均值的偏離大。方差描述隨機變量對于數學期望的偏離程度。

單個偏離是消除符號影響方差即偏離平方的均值，記為D(X )：

直接計算公式分離散型和連續型，具體為：這里 是一個數。推導另一種計算公式

得到：“方差等于平方的均值減去均值的平方”。

其中，分別為離散型和連續型的計算公式。 稱為標準差或均方差，方差描述波動。

設一組數據x1,x2,x3……xn中，各組數據與它們的平均數x（拔）的差的平方分別是（x1-x拔）2，（x2-x拔）2……（xn-x拔）2，那么我們用他們的平均數來衡量這組數據的波動大小，并把它叫做這組數據的方差。

    方差分析的基本原理是認為不同處理組的均數間的差別基本來源有兩個：

(1) 隨機誤差，如測量誤差造成的差異或個體間的差異，稱為組內差異，用變量在各組的均值與該組內變量值之偏差平方和的總和表示， 記作SSw，組內自由度dfw。

(2) 實驗條件，即不同的處理造成的差異，稱為組間差異。用變量在各組的均值與總均值之偏差平方和表示，記作SSb，組間自由度dfb。

總偏差平方和 SSt = SSb + SSw。

組內SSw、組間SSb除以各自的自由度(組內dfw =n-m，組間dfb=m-1，其中n為樣本總數，m為組數)，得到其均方MSw和MSb，一種情況是處理沒有作用，即各組樣本均來自同一總體，MSb/MSw≈1。另一種情況是處理確實有作用，組間均方是由于誤差與不同處理共同導致的結果，即各樣本來自不同總體。那么，MSb>>MSw(遠遠大于)。

MSb/MSw比值構成F分布。用F值與其臨界值比較，推斷各樣本是否來自相同的總體

 

三、 計算和性質

方差的計算公式D（X）=E(X²)-[E(X)]²

例題：隨機變量X的分布函數F(X)=﹛0，x<0﹜,{x³,0<=x<=1},{1,x>1},求E(X),D(X).

步驟：E(X)=∫{-∞,+∞}xdF(x)=∫{0,1}3x³dx=3/4,E(X²)=∫{-∞,+∞}x²dF(x)=∫{0,1}3x^4dx=3/5

D（X）=E(X²)-[E(X)]²=3/80

若x1,x2,x3......xn的平均數為m

則方差s^2=1/n[(x1-m)^2+(x2-m)^2+.......+(xn-m)^2] 

方差即偏離平方的均值，稱為標準差或均方差，方差描述隨機變量x的波動程度。

計算時有些是采取1/n，有些是采取1/(n-1)。理解這個問題，首先要知道估計的無偏性，無偏性有什么好處作用。樣本估計量（如[1/(n-1)][(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]）的數學期望等于整體方差，說明這個樣本估計量搜索是無偏的。從分析測試的觀點看，無偏性意味著測定的準確度。

方差反映了隨機變量取值的平均分散程度，D(X)=E[X-E(X)]~2,實質上，方差也是一個數學期望，它是一個特殊隨機變量的數學期望。

性質：1、D(C)=0;

2、D(CX）=C~2*D(X);

3、D(X+C)=D(X);

4、若X與Y獨立，則D(X+或-Y)=D(X)+D(Y);

 

    以上就是小編為大家整理的關于方差的定義，基本概念，公式，計算方法還有性質，方差在考試中考察并不是很難啦，同學們記住公式，牢記性質，能夠大致理解方差的概念就足以正確解答題目。