一、利用曲線方程中變量的范圍構造不等式
曲線上的點的坐標往往有一定的變化范圍,如橢圓 x2a2 + y2b2 = 1上的點P(x,y)滿足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用這些范圍來構造不等式求解,另外,也常出現題中有多個變量,變量之間有一定的關系,往往需要將要求的參數去表示已知的變量或建立起適當的不等式,再來求解.這是解決變量取值范圍常見的策略和方法.
例1 已知橢圓 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是橢圓上的兩點,線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x0 , 0)
求證:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
分析:先求線段AB的垂直平分線方程,求出x0與A,B橫坐標的關系,再利用橢圓上的點A,B滿足的范圍求解.
解: 設A,B坐標分別為(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入橢圓方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1
又∵線段AB的垂直平分線方程為
y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )
令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2
又∵A,B是橢圓x2a2 + y2b2 = 1 上的點
∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a
∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
例2 如圖,已知△OFQ的面積為S,且OF?FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF與FQ的夾角θ的取值范圍.
分析:須通過題中條件建立夾角θ與變量S的關系,利用S的范圍解題.
解: 依題意有
∴tanθ=2S
∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4
又∵0≤θ≤π
∴π4 <θ< p>
例3對于拋物線y2=4x上任一點Q,點P(a,0)都滿足PQ≥a,則a的取值范圍是
A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>
分析:直接設Q點坐標,利用題中不等式PQ≥a 求解.
解: 設Q( y024 ,y0) 由PQ ≥a
得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0
∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立
又∵ y02≥0
而 2+ y028 最小值為2 ∴a≤2 選( B )
二、利用判別式構造不等式
在解析幾何中,直線與曲線之間的位置關系,可以轉化為一元二次方程的解的問題,因此可利用判別式來構造不等式求解.
例4設拋物線y2 = 8x的準線與x軸交于點Q,若過點Q的直線L與拋物線有公共點,則直線L的斜率取值范圍是
A [-12 ,12 ] B [-2,2] C [-1,1] D [-4,4]
分析:由于直線l與拋物線有公共點,等價于一元二次方程有解,則判別式△≥0
解:依題意知Q坐標為(-2,0) , 則直線L的方程為y = k(x+2)
由 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0
∵直線L與拋物線有公共點
∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故選 (C)
例5 直線L: y = kx+1與雙曲線C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的兩點A、B，求實數k的取值范圍.
分析:利用直線方程和雙曲線方程得到x的一元二次方程,由于直線與右支交于不同兩點,則△>0,同時,還需考慮右支上點的橫坐標的取值范圍來建立關于k的不等式.
解：由 得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0
∵直線與雙曲線的右支交于不同兩點，則
解得 -2<-2< p>
三、利用點與圓錐曲線的位置關系構造不等式
曲線把坐標平面分成三個區域，若點P(x0,y0)與曲線方程f(x,y)=0關系：若P在曲線上，則f(x0,y0)=0;若P在曲線內，則f(x0,y0)<0;若P在曲線外，則f(x0,y0)>0;可見，平面內曲線與點均滿足一定的關系。故可用這些關系來構造不等式解題.
例6已知橢圓2x2 + y2 = a2 (a>0)與連結兩點A(1,2)、B(2,3)的線段沒有公共點，求實數a的取值范圍.
分析:結合點A,B及橢圓位置,可得當AB兩點同時在橢圓內或同時在橢圓外時符合條件.
解：依題意可知，當A、B同時在橢圓內或橢圓外時滿足條件。
當A、B同時在橢圓內，則
解得a >17
當A、B同時在橢圓外，則
解得0<6< p>
綜上所述，解得0<6 或a>17
例7若拋物線y2=4mx (m≠0)的焦點在圓(x-2m)2+(y-1)2=4的內部，求實數m的取值范圍.
分析:由于焦點(m,0)在圓內部,則把(m,0)代入可得.
解：∵拋物線的焦點F(m,0)在圓的內部，
∴(m-2m)2+(0-1)2<4 即m2<3
又∵m≠0
∴-3 <0或0<3< p>
四、利用三角函數的有界性構造不等式
曲線的參數方程與三角函數有關，因而可利用把曲線方程轉化為含有三角函數的方程，后利用三角函數的有界性構造不等式求解。
例8 若橢圓x2+4(y-a)2 = 4與拋物線x2=2y有公共點,
求實數a的取值范圍.
分析: 利用橢圓的參數方程及拋物線方程,得到實數a與參數θ的關系,再利用三角函數的有界性確定a的取值情況.
解：設橢圓的參數方程為 (θ為參數)
代入x2=2y 得
4cos2θ= 2(a+sinθ)
∴a = 2cos2θ-sinθ=-2(sinθ+ 14 )2+ 178
又∵-1≤sinθ≤1，∴-1≤a≤178
例9 已知圓C：x2 +(y-1)2= 1上的點P(m,n)，使得不等式m+n+c≥0恒成立，求實數c的取值范圍
分析:把圓方程變為參數方程,利用三角函數的有界性,確定m+n的取值情況,再確定c的取值范圍.
解：∵點P在圓上，∴m = cosβ,n = 1+sinβ(β為參數)
∵m+n = cosβ+1+sinβ = 2 sin(β+ π4 )+1
∴m+n最小值為1-2 ，
∴-(m+n)最大值為2 -1
又∵要使得不等式c≥-(m+n) 恒成立
∴c≥2 -1
五、利用離心率構造不等式
我們知道，橢圓離心率e∈(0,1)，拋物線離心率e = 1，雙曲線離心率e>1，因而可利用這些特點來構造相關不等式求解.
例10已知雙曲線x2-3y2 = 3的右焦點為F，右準線為L，直線y=kx+3通過以F為焦點,L為相應準線的橢圓中心，求實數k的取值范圍.
分析:由于橢圓中心不在原點,故先設橢圓中心,再找出橢圓中各量的關系,再利用橢圓離心率0<1,建立相關不等式關系求解.< p>
解：依題意得F的坐標為(2,0)，L:x = 32
設橢圓中心為(m,0)，則 m-2 =c和 m-32 = a2c
兩式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e2
∵0<1，∴0<1,解得m>2，
又∵當橢圓中心(m,0)在直線y=kx+3上，
∴0 = km+3 ,即m = - 3k ,
∴- 3k >2，解得-32 <0< p>
上面是處理解析幾何中求參數取值范圍問題的幾種思路和求法，希望通過以上的介紹，能讓同學們了解這類問題的常用求法，并能認真體會、理解掌握，在以后的學習過程中能夠靈活運用。