數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中六種重要基本思想方法之一，是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征．華羅庚先生曾指出：“數(shù)與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛. 數(shù)缺形時(shí)少直觀， 形少數(shù)時(shí)難入微.”在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言同直觀的圖形相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)抽象的概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，使數(shù)與形的信息相互滲透，可以開(kāi)拓我們的解題思路，使許多數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化．
數(shù)與形是一對(duì)矛盾，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個(gè)方面，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用形式大體可分為代數(shù)問(wèn)題的幾何解法與幾何問(wèn)題的代數(shù)解法兩個(gè)方面，它滲透于中學(xué)教材之中，本文試從函數(shù)圖像和幾何圖形兩個(gè)方面，結(jié)合中學(xué)教材的實(shí)際情況，舉例說(shuō)明“以形助數(shù)”在解決問(wèn)題中的一些妙用.
一、利用數(shù)形結(jié)合思想解決集合的問(wèn)題．
1、利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問(wèn)題．
一般用圓來(lái)表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個(gè)集合沒(méi)有公共元素．利用韋恩圖法能直觀地解答有關(guān)集合之間的關(guān)系的問(wèn)題．如：
例1、有48名學(xué)生，每人至少參加一個(gè)活動(dòng)小組，參加數(shù)理化小組的人數(shù)分別為28，25，15，同時(shí)參加數(shù)理小組的8人，同時(shí)參加數(shù)化小組的6人，同時(shí)參加理化小組的7人，問(wèn)同時(shí)參加數(shù)理化小組的有多少人？
分析：我們可用圓A、B、C分別表示參加數(shù)理化小組的人數(shù)（如圖），則三圓的公共部分正好表示同時(shí)參加數(shù)理化小組的人數(shù)．用n表示集合的元素，則有：
即：
∴
，即同時(shí)參加數(shù)理化小組的有1人．
2、利用數(shù)軸解決集合的有關(guān)運(yùn)算和集合的關(guān)系問(wèn)題．如：
例2、已知集合
分析：先在數(shù)軸上表示出集合A的范圍，要使
，由包含于的關(guān)系可知集合B應(yīng)該覆蓋集合A，從而有：
，這時(shí)
的值不可能存在．要使
，當(dāng)a >0時(shí)集合A應(yīng)該覆蓋集合B，應(yīng)有
成立．
.
當(dāng)
時(shí)，
，顯然
成立.故
時(shí)的取值范圍為：
二.利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程和不等式問(wèn)題．
1.利用二次函數(shù)的圖像解決一元二次方程根的分布情況問(wèn)題．
通過(guò)
的相互轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)y=f(x)的圖象直觀解決問(wèn)題．如：
例3、如果方程
的兩個(gè)實(shí)根在方程
的兩實(shí)根之間，試求
與
應(yīng)滿足的關(guān)系式．
分析：我們可聯(lián)想對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)
，
的草圖．這兩個(gè)函數(shù)圖像都是開(kāi)口向上，形狀相同且有
公共對(duì)稱軸的拋物線(如圖)．要使方程
的兩實(shí)根在方程
的兩實(shí)根之間，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像
與
軸的交點(diǎn)應(yīng)在函數(shù)圖像
與
軸的交點(diǎn)之內(nèi)，它等價(jià)于拋物線
的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)不大于零且大于拋物線
的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)．由配方方法可知
與
的頂點(diǎn)分別為：
．故可求出
與
應(yīng)滿足的關(guān)系式為：
．
2.利用二次函數(shù)的圖像求一元二次不等式的解集．
求一元二次不等式的解集時(shí)，只要聯(lián)想對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像，確定拋物線的開(kāi)口方向和與
軸的交點(diǎn)情況，便可直觀地看出所求不等式地解集．如
例4、解不等式
．
分析：我們可先聯(lián)想對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)
的圖像．從
解得
知該拋物線與
軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2，3，當(dāng)
取交點(diǎn)兩側(cè)的值時(shí)，即
時(shí)，
．即
．故可得不等式
的解集為：
．
3.利用函數(shù)圖像解決方程的近似解或解的個(gè)數(shù)問(wèn)題．
通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把求方程解的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)
圖像的交點(diǎn)問(wèn)題.如：
例5、解方程
分析：由方程兩邊的表達(dá)式我們可以聯(lián)想起函數(shù)
，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，這兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程的近似解，可以看出方程的近似解為
．
例6、設(shè)方程
，試討論
取不同范圍的值時(shí)其不同解的個(gè)數(shù)的情況．
分析：我們可把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)
與
圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，因函數(shù)
表示平行于
軸的所有直線，從圖像可以直觀看出：
①當(dāng)
時(shí)，
與
沒(méi)有交點(diǎn)，這時(shí)原方程無(wú)解;
②當(dāng)
時(shí)，
與
有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程有兩個(gè)不同的解;
③當(dāng)
時(shí)，
與
有四個(gè)不同交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有四個(gè)；④當(dāng)
時(shí)，
與
有三個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè)；
⑤當(dāng)
時(shí)
與
有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè)．
4.利用三角函數(shù)的圖像解不等式．
通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的關(guān)系問(wèn)題.如：
例7、解不等式
分析：從不等式的兩邊表達(dá)式我們可以看成兩個(gè)函數(shù)
.在
上作出它們的圖像，得到四個(gè)不同的交點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為：
，而當(dāng)
在區(qū)間
內(nèi)時(shí)，
的圖像都在
的圖像上方．所以可得到原不等式的解集為：
．
三、利用函數(shù)圖像比較函數(shù)值的大小．
一些數(shù)值大小的比較，我們可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)的函數(shù)值，利用它們圖像的直觀性進(jìn)行比較．如：
例8、試判斷
三個(gè)數(shù)間的大小順序．
分析：這三個(gè)數(shù)我們可以看成三個(gè)函數(shù)：
在
時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這三個(gè)函數(shù)的圖像(如圖)，從圖像可以直觀地看出當(dāng)
時(shí)，所對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)
的位置，從而可得出結(jié)論：
．
四、利用單位圓中的有向線段解決三角不等式問(wèn)題．
在教材中利用單位圓的有向線段表示角的正弦線，余弦線，正切線，并利用三角函數(shù)線可作出對(duì)應(yīng)三角函數(shù)的圖像．如果能利用單位圓中的有向線段表示三角函數(shù)線，應(yīng)用它解決三角不等式問(wèn)題，簡(jiǎn)便易行．如：
例9、解不等式
．
分析：因?yàn)檎揖€在單位圓中是用方向平行于
軸的有向線段來(lái)表示．我們先在
軸上取一點(diǎn)P，使
，恰好表示角
的正弦線
，過(guò)點(diǎn)P作
軸的平行線交單位圓于點(diǎn)
，在
內(nèi)，
分別對(duì)應(yīng)于角
，(這時(shí)所對(duì)應(yīng)的正弦值恰好為
)．而要求
的解集，只需將弦
向上平移，使
重合(也即點(diǎn)P向上平移至與單位圓交點(diǎn)處)．這樣
所掃過(guò)的范圍即為所求的角．原不等式的解集為：
．
五．利用兩點(diǎn)間距離公式或斜率公式模型構(gòu)造輔助圖形，找出代數(shù)問(wèn)題的幾何背景，簡(jiǎn)便解答某些代數(shù)綜合題．如：
例10.求證：
（a與c、b與d不同時(shí)相等）
分析：考察不等號(hào)兩邊特點(diǎn)為，其形式類同平面上兩點(diǎn)間距離公式．在平面直角坐標(biāo)系中設(shè)A（a，b），B(c，d)，O(0，0).
如圖｜AB｜＝
，｜AO｜＝
，｜BO｜＝
，當(dāng)A、B、O三點(diǎn)不共線時(shí)，｜AB｜＜｜AO｜+｜BO｜.當(dāng)A、B、O三點(diǎn)共線，且A、B在O點(diǎn)同側(cè)時(shí)，｜AB｜＜｜AO｜+｜BO｜.當(dāng)A、B、O三點(diǎn)共線，且A、B在O點(diǎn)異側(cè)時(shí)，或A、B之一與原點(diǎn)O重合時(shí)，｜AB｜＝｜AO｜+｜BO｜．
.綜上可證
.
例11.求函數(shù)y=
的最小值．
分析：考察式子特點(diǎn)，從代數(shù)的角度求解，學(xué)生的思維受阻，這時(shí)利用數(shù)形結(jié)合為轉(zhuǎn)化手段，引導(dǎo)學(xué)生探索函數(shù)背后的幾何背景，巧用兩點(diǎn)間距離公式，可化為
＝
令A(yù)（0，1），B（2，2），P（x，0），則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在X軸上求一點(diǎn)P，使｜PA｜+｜PB｜有最小值.如圖，由于AB在X軸同側(cè)，故取A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)
，故（｜PA｜+｜PB｜）
min=
．
例12.已知點(diǎn)P（x，y）在線性區(qū)域
內(nèi)，求（1）U＝
；（2）V＝
的值域
分析：由線性規(guī)劃可知P（x，y）在Rt
OAB內(nèi)（包括邊界），U
min實(shí)質(zhì)上是點(diǎn)M（4，3）到直線AB的距離
；V的值域?qū)嵸|(zhì)上是直線PM斜率的取值范圍
.