二、運用兩非零向量共線的充要條件求軌跡方程。

　　例1：已知定點a(2,0)，點p在曲線x2+y2=1(x≠1)上運動，∠aop的平分線交pa于q，其中o為原點，求點q的軌跡方程。

　　解: 設q(x,y),p(x1,y1)

　　-=(x-2,y)

　　-=( x1-x,y1-y)

　　又∵-=-=-

　　∴ -=2-

　　即：(x-2,y)=2(x1-x,y1-y)

　　-

　　解得：-

　　代入x12+y12=1(x≠1)有：

　　-(3x-2)2+-y2=1(x≠-)

　　即所求軌跡方程為：

　　(x--)2+y2=-(x≠-)

　　【點撥】用該方法解此類問題簡單明了，若將q視為線段ap的定比分點，運用定比分點公式解本題，則計算過程既繁瑣又容易出錯。

　　例2：設過點p(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于a、b兩點，點q與點p關于y軸對稱，o為坐標原點，若-=2-,且-·■=1,求p點的軌跡方程。

　　解：-=2-

　　∴p分有向線段-所成的比為2

　　由p(x,y)可得b(0,3y),a(-x,0)

　　∴- =(--x,3y)

　　∵q與p關于y軸對稱, ∴q(-x,y),-且 =(-x,y)

　　∴由-·■=1可得-x2+3y2=1(x>0,y>0)

　　即所求點p的軌跡方程為-x2+3y2=1(x>0,y>0)

　　【點撥】求動點軌跡方程時應注意它的完備性與純粹性。化簡過程破壞了方程的同解性，要注意補上遺漏的點或者挖去多余的點。

　　三、運用兩非零向量垂直的充要條件是求軌跡方程。

　　例1：如圖，過定點a(a,b)任意作相互垂直的直線l1與l2，且l1與x軸相交于m點，l2與y軸相交于n點，求線段mn中點p的軌跡方程。

　　解：設p(x,y)，則m(2x,0)，n(0,2y)

　　-=(2x-a ,-b)

　　-=(-a,2y-b)

　　由-⊥-知-·■=0

　　∴(2x-a)(-a)+(-b)(2y-b)=0

　　即所求點p的軌跡方程為2ax+2by=a2+b2

　　【點撥】用勾股定理解本題，運算繁瑣，若用斜率解本題，又必須分類討論，用向量的方法避免了上述兩種方法的缺陷，使解題優化。

　　例2：過拋物線y2=8x的焦點f的直線交拋物線于a,b兩點，過原點o作om⊥ab，垂足m，求點m的軌跡方程。

　　解：設m(x,y), om⊥ab，f(2,0)

　　∵-·■=0且-=(x,y),-=(2-x,-y)

　　∴x(2-x)-y2=0，即：x2+y2-2x=0

　　∴點m的軌跡方程為x2+y2-2x=0