3.數列{an}滿足a1=1且an+1=(1+-)an+-(n1)

　　(ⅰ)用數學歸納法證明：an2(n2)；

　　(ⅱ)已知不等式ln(1+x)0成立，證明：an

　　證明(ⅰ)當n=2時，a2=(1+-)·1+-=22，不等式成立；

　　假定n=k時，ak2，

　　ak+1=(1+-)·ak+-2(1+-)+-，

　　∵1+->1，->0 ∴ak+12

　　由上面n=2與n=k+1，可知不等式an2，對n=2，3，…成立。

　　證明(ⅱ)an+1=(1+-)·an+-

　　由(ⅰ)an1，n=1，2，3，…易得-- ∴an+1an·(1+-+-)

　　兩邊取以e為底的對數，∵e>1，∴lnan+1lnan+ln[1+(-+-)]

　　又由(ⅱ)給出的條件ln(1+x)0

　　上面的不等式可變形為：lnan+1-lnan-+-

　　即lnan-lnan-1-+-

　　lnan-1-lnan-2-+-

　　……

　　lna2-lna1-+-

　　把以上n-1個不等式相加：

　　lnan-lna1-+-+…+-+-+-+…+-

　　∵lna1=0

　　又-+-+…+-=1--+---+…+---=1--，

　　-+-+…+-=1--，

　　∴lnan1--+1--=2----<2

　　∴an

　　注第(ⅱ)問是把不等式證明的比較法，放縮法與數列的基本方法與等比數列求和融在一起，這種綜合題不單單是內容的綜合，深入到數學方法的綜合。

　　4.已知各項均為正數的數列{an}的前n項和sn滿足s1>1，且6sn=(an+1)(an+2)，n∈n+

　　(ⅰ)求{an}的通項公式；

　　(ⅱ)設數列{bn}滿足an(--1)=1，并記tn為{bn}的前n項和，求證：3tn+1>log2(an+3)，n∈n+。

　　解：(ⅰ)a1=s1>1

　　6sn-6sn-1=an2+3an+2-(a2n-1+3an-1+2)

　　6an=(an+an-1)(an-an-1)+3(an-an-1)

　　(an+an-1)(an-an-1)-3(an+an-1)=0

　　∵an>0，an-1>0

　　∴an-an-1=3

　　又6a1=a21+3a1+2，a1>1，∴a1=2

　　∴an=3n-1

　　分析(2)--1=-，-=-

　　bn=log2-

　　tn=b1+b2+…+bn=log2-g-g-g…g-

　　=log2(1+-)(1+-)(1+-)…(1+-)

　　3tn+1=log22g(1+-)3g(1+-)3g(1+-)3g…g(1+-)3

　　在不等式證明中，解決連乘最為困難，所以要考其他途徑變形

　　由二項式定理(1+x)n=1+c1nx+…+cnnxn(x>0)

　　有(1+x)n>1+c1nx=1+nx

　　研究3tn+1等式中右邊的連續兩項：

　　(1+-)3>1+-=-

　　[1+-]3>1+-=-

　　這樣的變形乘積項就能打破，下面有：

　　3tn+1>log2(2g-g-g…g-g-)

　　=log2(3n+2)=log2(an+3).

　　注：二項展開式在處理不等量關系及近似計算中起重要的簡化作用。

　　5.已知數列{an}中有相鄰兩項a2k-1，a2k是關于x的方程的兩個根，且a2k-1a2k(k=1，2，3，…)

　　(ⅰ)求a1，a3，a5，a7；

　　(ⅱ)求數列{an}的前2n項的和s2n；

　　(ⅲ)記f(n)=-(-+3)，tn=-+-+-+…+-

　　求證：-tn-(n∈n*)

　　(ⅰ)解：方程(x-3k)(x-2k)=0，x1=3k，x2=2k

　　當k=1時，x1=3，x2=2，由a1a2→a1=2，a2=3

　　當k=2時，x1=6，x2=4，由a3a4→a3=4，a4=6

　　當k=3時，x1=9，x2=8，由a5a6→a5=8，a6=9

　　當k=4時，x1=12，x2=16，由a7a8→a7=12，a8=16

　　∴a1=2，a3=4，a5=8，a7=12

　　分析(2)s2n=(a1+a3+a5+a8)+(a2+a4+a6+a7)+a9+…+a2n

　　=3(1+2+…+n)+2+22+…+2n=-n(n+1)+2n+1-2.

　　分析(3)f(n)=12(-+3)

　　n=2，f(2)=2，n=3，f(3)=2，

　　n=4，f(4)=1，n=5，f(5)=1，

　　隨著n的變化，很難確定f(n)=?

　　要證-≤tn≤-

　　t1=-=-，t2=-+-=-

　　由此看出t1、t2是兩個重要的結果。