-=λ-，-λ-(λ為非零參數，n=2，3，4，…)

　　(ⅰ)若x1，x3，x5成等比數列，求參數λ的值；

　　(ⅱ)當λ>0時，證明--(n∈n*)；

　　當λ>1時，證明-+-+…+-<-(n∈n*)

　　解(ⅰ)n=2 -=λ-→x3=λ；n=3 -=λ-→x4=λ3

　　n=4 -=λ-→x5=λ6

　　∵x1，x3，x5成等比

　　∴x32=x1·x5→λ2=λ6，λ≠0

　　∴λ=±1

　　(ⅱ)-=λ-=λ2-=…=λn-1-，∴-=λn-1

　　y1=y2=2>0，λ>0→yn>0

　　-λ-λ2-…λn-1-

　　∴-λn-1→--

　　∴--

　　(ⅲ)由已知 x1=x2=1，y1=y2=2，y3λy2，x3=λx2 又λ>1，∴y3>x3

　　進一步易推得 yn>xn

　　-=-，yn+1-xn+1λn-1yn-λn-1xn=λn-1(yn-xn)>0

　　--

　　--=-

　　∴--，(n2)

　　-+-+…+-1+-+…+-<-=-

　　注：第(ⅱ)問是用逐次代入法解決等量與不等量遞推。

　　(三)綜合題與應用題

　　綜合題主要是數列與函數，數列與不等式的綜合.數列部分的應用題是以“增長率”為基礎加以變化.

　　1. 已知二次函數y=f(x)的圖像經過坐標原點，其導函數為f‘(x)=6x-2，數列{an}的前n項和為sn，點(n，sn)(n∈n*)均在函數y=f(x)的圖像上。

　　(ⅰ)求數列{an}的通項公式；

　　(ⅱ)設bn=-，tn是數列{bn}的前n項和，求使得tn<-對所有n∈n*都成立的最小正整數m。

　　解(ⅰ)∵f(x)的圖像經過坐標原點

　　∴f(0)=c=0

　　又f‘(x)=2ax+b=6x-2

　　∴a=3，b=-2

　　∴f(x)=3x2-2x

　　sn=f(n)=3n2-2n， a1=s1=1

　　sn-1=3(n-1)2-3(n-1)

　　an=sn-sn-1=6n-5，n2

　　a1=1也滿足上式

　　∴an=6n-5，(n=1，2，…)

　　(ⅱ)bn=-=-[---]

　　tn=-(1--)<-

　　m>10--

　　g(n)=10--，n↑，g(n)↑

　　-g(n)=10 ∴m=10

　　注：本題是函數與數列綜合，第(ⅱ)問要有極限思想。

　　2. 已知an(an，bn)(n∈n*)是曲線y=ex上的點，a1=a，sn是數列{an}的前n項和，且滿足sn2=3n2an+sn-12，an≠0，n=2，3，4，…

　　(ⅰ)證明：數列{-}(n2)是常數列；

　　(ⅱ)確定a的取值集合m，使a∈m時，數列{an}是單調遞增數列；

　　(ⅲ)證明：當a∈m時， 弦anan+1(n∈n*)的斜率隨n單調遞增。

　　解：(ⅰ)sn2-s2n-1=3n2gan，

　　(sn+sn-1)gan=3n2gan，n2，an≠0

　∴sn+sn-1=3n2

　　sn+1+sn=3(n+1)2

　　兩式相減：sn+1-sn-1=6n+3

　　∴an+1+an=6n+3

　　an+2+an+1=6n+9

　　又兩式相減an+2-an=6，n2

　　-=-=-=e6。得證

　　分析(2)由sn+sn-1=3n2

　　n=2:s2+s1=12→a2=12-2a

　　由an+1+an=6n+3

　　n=2:a3=3+2a

　　n=3:a4=18-2a

　　a2，a4，…，a2k是以a2為首項，公差為6的等差遞增數列。

　　a3，a5，…，a2k-1是以a3為首項，公差為6的等差遞增數列。

　　若{an}為遞增數列，應有a1

　　-

　　證明(3)kn=-，kn+1=-

　　分析：{an}↑，{-}↑，要證{kn}↑

　　注意到，{an}不是以6為公差的等差遞增數列，用比較法kn+1-kn在計算中顯然行不通。過去是“量”的轉換，現在把數列轉換成函數，用函數單調性解決數列的單調性。

　　設函數f(x)=-

　　f‘(x)=-，需證f‘(x)>0，可推出f(x)↑

　　又設g(x)=ex(x-x0)-(ex--)

　　g‘(x)=ex(x-x0)

　　xx0

　　g‘(x)>0，g(x)↑，

　　∴x=x0是g(x)唯一極小值點。

　　∴g(x)>g(x0)=0，即g(x)>0

　　∴f‘(x)>0，f(x)↑

　　單調區間(-∞，x0)∪(x0，+∞)

　　上面是把數列轉化為函數，下面還要把函數轉化為數列。

　　令x0=an，an

　　∴-<-

　　再令x0=an+2，an

　　->-

　　∴kn

　　注：數列也是函數，用處理函數的思路，與方法也適用于數列，關鍵是抓住“轉化”的轉折點。

　　2008年物理復習：巧用能量守恒定律

　　天津四十二中學 楊震

　　[例2]：如圖所示，傳送帶與水平地面夾370，以恒定的速率v0=2m/s運行。把一個質量為10kg的物體輕放在傳送帶底端，物體被運送到高為h=2m處，物體與傳送帶的動摩擦因數μ=0.866，不計其他摩擦以及能量損失，求：

　　(1)此過程產生的內能是多少？

　　(2)此過程中拉動傳送帶的電動機消耗的電能是多少？