知識要點

　　一、函數的概念

　　1.函數的定義：設a、b是非空數集,如果按某個確定的對應法則f，使對于集合a中的任意一個數x,在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那么就稱f:a→b為從集合a到集合b的一個函數，記作y＝f(x)，x∈a,其中x叫做自變量。x的取值范圍a叫做函數的定義域；與x的值相對應的y的值叫做函數值，函數值的集合｛f(x)｜x∈a｝叫做函數的值域。

　　2.兩個函數的相等函數的定義含有三個要素，即定義域a、值域c和對應法則f。當函數的定義域及從定義域到值域的對應法則確定之后，函數的值域也就隨之確定。因此，定義域和對應法則為函數的兩個基本條件，當且僅當兩個函數的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數才是同一個函數。

　　3.映射的定義一般地，設a、b是兩個集合，如果按照某種對應關系f，對于集合a中的任何一個元素，在集合b中都有唯一的元素和它對應，那么，這樣的對應(包括集合a、b，以及集合a到集合b的對應關系f)叫做集合a到集合b的映射，記作f:a→b。

　　由映射和函數的定義可知，函數是一類特殊的映射，它要求a、b非空且皆為數集。

　　二、函數的解析式

　　求解析式的常用方法：換元法，配湊法，構造方程法，待定系數法。

　　三、函數的定義域

　　1.具體函數的定義域：使函數有意義的自變量的取值集合。

　　2.抽象函數的定義域(復合函數f[g(x)])：內層函數的值域必須符合外層函數的定義域。

　　典型例題

　　例1、判斷下列對應是否是映射

　　(1)a=r，b=r，f:x→y=-

　　(2)a={s|s=2m+1，m∈n}，b={t|t∈r}，f:s→t=s

　　解：(1)不是

　　∵x=0集合b中沒有象與之對應。

　　(2)是。

　　說明：體會映射的概念 “都有象，象唯一”。

　　例2、已知m={a,b,c},n{1,2}

　　求：(1)m到n的映射個數，n到m的映射個數。

　　(2)滿足m到n的函數有多少個。

　　解：(1)8個，9個

　　(2) c32·a22=6個

　　說明：注意分辨函數與映射的差別，映射的象集合可以存在元素沒有原象，函數的集合n表示函數的值域，每一個元素都要有原象。

　　例3、求下列函數的定義域：

　　(1)y=-

　　解：-

　　x∈{x|-6≤x<-1或-1

　　說明：求解函數的定義域先由外向內列出條件不等式組再求解。

　　(2)y=1+-

　　解：-

　　x∈{x∈r|x≠-2且x≠-1}

　　說明：在求解函數的定義域時，不能先化簡再求解。

　　例4、(1)已知：函數f(x)的定義域為[0，1]求：f(x2)，f(x-1)的定義域。

　　解：0≤x2≤1 ∴x∈[-1,1]；

　　- x∈(0,1]

　　說明：形如f[g(x)]已知f(x)的定義域a求復合函數的定義域。

　　令g(x)∈a解不等式。

　　(2)已知： f[lg(x+1)]的定義域為[0，9]求f(x)的定義域。

　　解：0≤x≤9,1≤x+1≤10,0≤lg(x+1)≤1,

　　∴f(x)的定義域為[0，1]

　　說明：形如f[g(x)]已知f[g(x)]的定義域a求函數f(x)的定義域。求解g(x)在x∈a的值域。

　例5、已知：f(1-cosx)=sin2x，求f(x)

　　x∈r t=1-cosx,t∈[0,2] cosx=1-t

　　解法一：

　　設sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2

　　∴f(t)=-t2+2t

　　f(x)=-x2+2x x∈[0,2]

　　解法二：

　　f(1-cosx)=sin2x=1-cos2x

　　=1-[(1-cosx)2-2(1-cosx)+1]

　　=-(1-cosx)2+2(1-cosx)

　　∴f(x)=-x2+2x x∈[0,2]

　　說明：在使用換元法，配湊法求解析式時，要注意中間變量的定義域。